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3.已知定义在实数集R上的函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a,b,c,d是实数.若函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,并且f(0)=-7,f′(0)=-18,求函数f(x)的表达式.

分析 因为函数f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都是增函数,在区间(-1,3)上是减函数,则导数在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上都大于零,在区间(-1,3)上小于零,可知,-1和3对应的导数值为0,再由f′(0)=-18,可求得导函数,再利用导函数与原函数间的关系,表示出原函数,再由f(0)=-7求解.

解答 解:f′(x)=3ax2+2bx+c.
由f'(0)=-18得c=-18,即f′(x)=3ax2+2bx-18,
又由于f(x)在区间(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数,
在区间(-1,3)上是减函数,
所以-1和3必是f′(x)=0的两个根.
从而$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-18=0}\\{27a+6b-18=0}\end{array}\right.$,
又根据f(0)=-7,
所以f(x)=2x3-6x2-18x-7.

点评 本题主要考查函数的单调性问题,当导数大于零时,函数为增函数,当导数小于零时,函数为减函数.

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