【题目】已知.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求的值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)的定义域为,求导可得.则考查函数的单调性只需考查二次函数的性质可得:
当时, 在上单调递增;
当时, 在和上单调递增,
在上单调递减.
(2)原问题等价于, 恒成立. 构造函数,令,则, ,即在时取得最大值.
.由解得.经检验可得a=1符合题意.故.
试题解析:
(1)的定义域为, .
∵.
令,则
(a)若,即当时,对任意, 恒成立, 即当时, 恒成立(仅在孤立点处等号成立).
∴在上单调递增.
(b)若,即当或时, 的对称轴为.
①当时, ,且.
如图,任意, 恒成立, 即任意时, 恒成立,
∴在上单调递增.
②当时, ,且.
如图,记的两根为
∴当时, ;
当时, .
∴当时, ,
当时, .
∴在和上单调递增,在上单调递减.
综上,当时, 在上单调递增;
当时, 在和上单调递增,
在上单调递减.
(2)恒成立等价于, 恒成立.
令,则恒成立等价于, .
要满足式,即在时取得最大值.
∵.
由解得.
当时, ,
∴当时, ;当时, .
∴当时, 在上单调递增,在上单调递减,从而,符合题意.
所以, .
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, , 和均为等边三角形,且平面平面,点为的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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【题目】函数的一段图象如图所示.
(1)求的解析式;
(2)求的单调减区间,并指出的最大值及取到最大值时的集合;
(3)把的图象向右至少平移多少个单位,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?
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【题目】2017年“双节”期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速分成六段: , , , , , 后得到如图的频率分布直方图.
(1)调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?
(2)求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值;
(3)若从车速在的车辆中任抽取2辆,求车速在的车辆至少有一辆的概率.
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【题目】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4.已知各观测点到该中心的距离是1020.则该巨响发生在接报中心的( )处.(假定当时声音传播的速度为340,相关各点均在同一平面上)
A. 西偏北方向,距离 B. 东偏南方向,距离
C. 西偏北方向,距离 D. 东偏南方向,距离
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