Question

如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O₁、O₂分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O₁、O₂、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。

Answer 1

证明略

证明：连结BP、CP、O₁O₂、EO₂、EF、FO₁。因为PD⊥BC，PF⊥AB，故B、D、P、F四点共圆，
且BP为该圆的直径。又因为O₁是△BDF的外心，故O₁在BP上且是BP的中点。同理可证C、D、P、E四点共圆，且O₂是的CP中点。综合以上知O₁O₂∥BC，所以∠PO₂O₁=∠PCB。因为AF·AB=AP·AD=AE·AC，所以B、C、E、F四点共圆。
充分性：设P是△ABC的垂心，由于PE⊥AC，PF⊥AB，所以B、O₁、P、E四点共线，C、O₂、P、F四点共线，∠FO₂O₁=∠FCB=∠FEB=∠FEO₁，故O₁、O₂、E、F四点共圆。
必要性：设O₁、O₂、E、F四点共圆，故∠O₁O₂E+∠EFO₁=180°。
由于∠PO₂O₁=∠PCB=∠ACB-∠ACP，又因为O₂是直角△CEP的斜边中点，也就是△CEP的外心，所以∠PO₂E=2∠ACP。因为O₁是直角△BFP的斜边中点，也就是△BFP的外心，从而∠PFO₁=90°-∠BFO₁=90°-∠ABP。因为B、C、E、F四点共圆，所以∠AFE=∠ACB，∠PFE=90°-∠ACB。于是，由∠O₁O₂E+∠EFO₁=180°得
(∠ACB-∠ACP)+2∠ACP+(90°-∠ABP)+(90°-∠ACB)=180°，即∠ABP=∠ACP。又因为AB<AC，AD⊥BC，故BD<CD。设B'是点B关于直线AD的对称点，则B'在线段DC上且B'D=BD。连结AB'、PB'。由对称性，有∠AB'P=∠ABP，从而∠AB'P=∠ACP，所以A、P、B'、C四点共圆。由此可知∠PB'B=∠CAP=90°-∠ACB。因为∠PBC=∠PB'B，
故∠PBC+∠ACB=(90°-∠ACB)+∠ACB=90°，故直线BP和AC垂直。由题设P在边BC的高上，所以P是△ABC的垂心。