【题目】设数组,,,数称为数组的元素.对于数组,规定:
①数组中所有元素的和为;
②变换,将数组变换成数组,其中表示不超过的最大整数;
③若数组,则当且仅当时,.
如果对数组中任意个元素,存在一种分法,可将其分为两组,每组个元素,使得两组所有元素的和相等,则称数组具有性质.
(Ⅰ)已知数组,,计算,,并写出数组是否具有性质;
(Ⅱ)已知数组具有性质,证明:也具有性质;
(Ⅲ)证明:数组具有性质的充要条件是.
【答案】(Ⅰ)数组是具有性质,数组不具有性质.(Ⅱ)证明见解析(Ⅲ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)根据题意,即可容易得,则可判断;
(Ⅱ)对都为奇数和都为偶数,结合性质的定义,即可证明;
(Ⅲ)从充分性和必要性上,结合(Ⅱ)中所求,即可证明.
(Ⅰ),;
数组是具有性质,数组不具有性质.
(Ⅱ)证明:当元素均为奇数时,
因为,,所以.
对中任意个元素,不妨设为.
因为数组具有性质,所以对于,
存在一种分法:将其分为两组,每组个素,使得各组内所有元素之和相等.
如果用替换上述分法中的(),
就可以得到对于的一种分法:
将其分为两组,每组个元素,显然各组内所有元素之和相等.
所以此时也具有性质.
当元素均为偶数时,
因为,,所以.
对中任意个元素,不妨设为.
因为数组具有性质,所以对于,
存在一种分法:将其分为两组,每组个元素,使得各组内所有元素之和相等.
如果用替换上述分法中的(),
就可以得到对于的一种分法:
将其分为两组,每组个元素,显然各组内所有元素之和相等.
所以此时也具有性质.
综上所述,由数组具有性质可得也具有性质.
(Ⅲ)证明:(1)充分性:显然成立.
(2)必要性:
因为数组具有性质,所以对于数组中任意个元素,存在一种分法:
将个元素平均分成2组,并且各组内所有元素之和等于同一个正整数,
所以均为偶数,从而元素的奇偶性相同.
由(Ⅱ)可知,如果数组具有性质,
那么仍具有性质.
又因为,当为奇数时,
,当且仅当时等号成立,
当为偶数时,
,
由此得到的充要条件是.
易知,
当且仅当时等号成立.
即,当且仅当时等号成立.
令,,.
假设对于任意的,有,则,
又,,得,即.
得 ,…,
,
所以,且单调递减.
又因为,矛盾.
所以存在,有.
又由结论1,得此时.
上述过程倒推回去,
因为数组均具有性质,即数组中元素
的奇偶性相同,可得数组中的所有元素都相同,
所以,数组中的元素均相同,即.
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【题目】在直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.
(1)求与的直角坐标方程;
(2)若与的交于点,与交于、两点,求的面积.
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【题目】2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中,居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图:
(1)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P();
(2)在(1)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于则只有1次:
(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单位:元) | 10 | 20 |
概率 |
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列.附:,若,则,.
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【题目】密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动,购买百元以上单件商品可以使用优惠劵一张,并且每天购物只能用一张优惠券.一名顾客得到三张优惠券,三张优惠券的具体优惠方式如下:
优惠券1:若标价超过50元,则付款时减免标价的10%;
优惠券2:若标价超过100元,则付款时减免20元;
优惠券3:若标价超过100元,则超过100元的部分减免18%.
如果顾客需要先用掉优惠券1,并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多,那么你建议他购买的商品的标价可以是__________元.
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【题目】秉承“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某市环保部门通过制定评分标准,先对本市的企业进行评估,评出四个等级,并根据等级给予相应的奖惩,如下表所示:
评估得分 | ||||
评定等级 | 不合格 | 合格 | 良好 | 优秀 |
奖励(万元) |
环保部门对企业评估完成后,随机抽取了家企业的评估得分(分)为样本,得到如下频率分布表:
评估得分 | ||||||
频率 |
其中、表示模糊不清的两个数字,但知道样本评估得分的平均数是.
(1)现从样本外的数百个企业评估得分中随机抽取个,若以样本中频率为概率,求该家企业的奖励不少于万元的概率;
(2)现从样本“不合格”、“合格”、“良好”三个等级中,按分层抽样的方法抽取家企业,再从这家企业随机抽取家,求这两家企业所获奖励之和不少于万元的概率.
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【题目】2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则( )
A.B.C.D.
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【题目】某健身房为了解运动健身减肥的效果,调查了名肥胖者健身前(如直方图(1)所示)后(如直方图(2)所示)的体重(单位:)变化情况:
对比数据,关于这名肥胖者,下面结论正确的是( )
A.他们健身后,体重在区间内的人数较健身前增加了人
B.他们健身后,体重原在区间内的人员一定无变化
C.他们健身后,人的平均体重大约减少了
D.他们健身后,原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少
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