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【题目】设数组,数称为数组的元素.对于数组,规定:

①数组中所有元素的和为

②变换将数组变换成数组,其中表示不超过的最大整数;

③若数组,则当且仅当时,

如果对数组中任意个元素,存在一种分法,可将其分为两组,每组个元素,使得两组所有元素的和相等,则称数组具有性质

(Ⅰ)已知数组,计算,并写出数组是否具有性质

(Ⅱ)已知数组具有性质,证明:也具有性质

(Ⅲ)证明:数组具有性质的充要条件是

【答案】(Ⅰ)数组是具有性质,数组不具有性质.(Ⅱ)证明见解析(Ⅲ)证明见解析

【解析】

(Ⅰ)根据题意,即可容易得,则可判断;

(Ⅱ)对都为奇数和都为偶数,结合性质的定义,即可证明;

(Ⅲ)从充分性和必要性上,结合(Ⅱ)中所求,即可证明.

(Ⅰ)

数组是具有性质,数组不具有性质

(Ⅱ)证明:当元素均为奇数时,

因为,所以

中任意个元素,不妨设为

因为数组具有性质,所以对于

存在一种分法:将其分为两组,每组个素,使得各组内所有元素之和相等.

如果用替换上述分法中的),

就可以得到对于的一种分法:

将其分为两组,每组个元素,显然各组内所有元素之和相等.

所以此时也具有性质

当元素均为偶数时,

因为,所以

中任意个元素,不妨设为

因为数组具有性质,所以对于

存在一种分法:将其分为两组,每组个元素,使得各组内所有元素之和相等.

如果用替换上述分法中的),

就可以得到对于的一种分法:

将其分为两组,每组个元素,显然各组内所有元素之和相等.

所以此时也具有性质

综上所述,由数组具有性质可得也具有性质

(Ⅲ)证明:(1)充分性:显然成立.

2)必要性:

因为数组具有性质,所以对于数组中任意个元素,存在一种分法:

个元素平均分成2组,并且各组内所有元素之和等于同一个正整数,

所以均为偶数,从而元素的奇偶性相同.

由(Ⅱ)可知,如果数组具有性质

那么仍具有性质

又因为,当为奇数时,

,当且仅当时等号成立,

为偶数时,

由此得到的充要条件是

易知

当且仅当时等号成立.

,当且仅当时等号成立.

假设对于任意的,有,则

,得,即

所以,且单调递减.

又因为,矛盾.

所以存在,有

又由结论1,得此时

上述过程倒推回去,

因为数组均具有性质,即数组中元素

的奇偶性相同,可得数组中的所有元素都相同,

所以,数组中的元素均相同,即

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合格

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