Question

给出下列命题：
①f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，若θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
②函数y=2cos(

π

3

-2x)的单调递减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)；
③若f(x)=2cos2

x

2

-1，则f(x+π)=-f(x)对x∈R恒成立；
④要得到函数y=sin(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位．
其中是真命题的有

②③

（填写所有真命题的序号）．

Answer 1

分析：根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合三角函数的图象和性质，可判断f（sinθ）＜f（cosθ），进而得到①错误；
根据余弦型函数的单调性，求出函数y=2cos(

π

3

-2x)=2cos(2x-

π

3

)的单调区间，比照后，可得到②正确；
利用降次升角公式化简函数的解析式，进而根据诱导公式，可判断③正确；
利用函数图象的平移变换法则，求出平移变换后函数的解析式，比照后，可得④错误．

解答：解：若θ∈(

π

4

，

π

2

)，则1＞sinθ＞cosθ＞0，又由f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，故f（x）在[0，1]上是减函数，故f（sinθ）＜f（cosθ），故①错误；
函数y=2cos(

π

3

-2x)=2cos(2x-

π

3

)，由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，(k∈Z)，故函数y=2cos(

π

3

-2x)的单调递减区间是[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，故②正确；
f(x)=2cos2

x

2

-1=cosx，则f（x+π）=cos（x+π）=-cosx=-f（x）恒成立，故③正确；
将y=sin

x

2

的图象向右平移

π

4

个单位后，得到函数y=sin

x- π 4

2

=sin(

x

2

-

π

8

)的图象，故④错误
故答案为：②③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握三角函数的图象和性质是解答的关键．