Question

4．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一个平面内的三个单位向量，且$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，则$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$的取值范围是（　　）

• A． $[-1，\sqrt{2}]$
• B． $[-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$
• C． $[\sqrt{2}-2，2]$
• D． $[1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 可作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，然后便以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标，从而可得出点A，B的坐标，并设C（cosα，sinα），然后进行向量坐标的数量积运算即可求出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）$，根据两角和的正弦公式化简便可得出其取值范围．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}$，以OA，OB所在直线分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（1，0），B（0，1），设C（cosα，sinα），则：
$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow{b}=（0，1），\overrightarrow{c}=（cosα，sinα）$；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（1-cosα，-sinα）$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=（-cosα，1-sinα）$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）=-cosα+co{s}^{2}α$-sinα+sin²α=$1-\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$；
∵$-1≤sin（α+\frac{π}{4}）≤1$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}）∈[1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}]$．
故选D．

点评 考查单位向量的概念，向量的几何意义，以及建立坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，两角和的正弦公式，以及正弦函数的值域．