如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥侧面AA1C1C,AC=BC=1,CC1=2, ∠CAA1= ,D、E分别为AA1、A1C的中点.
(1)求证:A1C⊥平面ABC;(2)求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值.
(1)通过余弦定理来证明AC⊥A1C,以及结合题目中的BC⊥A1C来得到证明。
(2)
解析试题分析:解:(1)证明:∵BC⊥侧面AA1C1C,A1C在面AA1C1C内,∴BC⊥A1C. 2分
在△AA1C中,AC=1,AA1=C1C=2,∠CAA1=,
由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos
=3,
∴A1C= ∴AC2+A1C2=AA12 ∴AC⊥A1C 5分
∴A1C⊥平面ABC. 6分
(2)由(Ⅰ)知,CA,CA1,CB两两垂直
∴如图,以C为空间坐标系的原点,分别以CA,CA1,CB所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),B(0,0,1),A(1,0,0),A1(0,,0)
由此可得D(,
,0),E(0,
,0),
=(
,
,-1),
=(0,
,-1).
设平面BDE的法向量为=(x,y,z),则有
令z=1,则x=0,y=
∴=(0,
,1) 9分
∵A1C⊥平面ABC ∴=(0,
,0)是平面ABC的一个法向量 10分
∴
∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为. 12分
考点:二面角的平面角以及线面垂直
点评:主要是考查了空间中线面位置关系,以及二面角的平面角的求解的综合运用,属于中档题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=,连接CE并延长交AD于F.
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
斜三棱柱,其中向量
,三个向量之间的夹角均为
,点
分别在
上且
,
=4,如图
(Ⅰ)把向量用向量
表示出来,并求
;
(Ⅱ)把向量用
表示;
(Ⅲ)求与
所成角的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知:四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,且AB∥CD,∠DAB=90o,DC=2AD=2AB,侧面PAD与底面垂直,PA=PD,点M为侧棱PC上一点.
(1)若PA=AD,求PB与平面PAD的所成角大小;
(2)问多大时,AM⊥平面PDB可能成立?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图:在空间四边形ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=2,E是AC的中点,异面直线AD和BE所成的角为,求BD的长度.(15分)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com