Question

18．设函数f（x）=mx²+2mx+1．
（1）当m=1时，求不等式f（x）＞-x-2的解集．
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，代入可得f（x）=x²+2x+1．整理得x²+3x+3＞0，根据二次函数的判别式得解集为R；
（2）对二次项系数分类讨论，当是二次函数时，利用性质判断即可．

解答 解：（1）当m=1时，
f（x）=x²+2x+1．
∴x²+2x+1＞-x-2，
∴x²+3x+3＞0，
∴解集为R；
（2）若f（x）＞0对任意x∈R恒成立，
当m=0时，f（x）=1，符合题意；
当m≠0时，
m＞0，△=m（m-1）＜0，
∴0＜m＜1，
故m的范围为[0，1）．

点评 考查了二次函数的性质和对二次项系数分类讨论问题．属于基础题型，应熟练掌握．