Question

已知函数f(x)＝lg(a^x－b^x)(a>1>b>0)．
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)在函数y＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴；
(3)当a、b满足什么关系时，f(x)在区间上恒取正值．

Answer 1

（1）(0，＋∞)（2）不存在（3）a≥b＋1

(1)由a^x－b^x>0，得^x>1，因为a>1>b>0，所以>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(2)设x₁>x₂>0，因为a>1>b>0，所以ax₁>ax₂，bx₁<bx₂，则－bx₁>－bx₂，所以ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0，于是lg(ax₁－bx₁)>lg(ax₂－bx₂)，即f(x₁)>f(x₂)，因此函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使得直线AB平行于x轴，即x₁≠x₂，y₁＝y₂，这与f(x)是增函数矛盾．故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于x轴．
(3)由(2)知，f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，故只需f(1)≥0，即lg(a－b)≥0，即a－b≥1，所以当a≥b＋1时，f(x)在区间(1，＋∞)上恒取正值．