Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．
（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；
（2）已知，函数g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
设x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=--（）=（）（1+），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴＞，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数．
（2）∵f（1）=，∴a-=，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上为增函数，∴t∈[]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
当t=时，g（x）有最大值，当t=2时，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假设存在满足条件的正整数λ，则（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x），
①当x=0时，λ∈R；
②当x时，4^x-4^-x＞0，则λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，则μ∈（1，2]，易证z=在（1，2]上是增函数，
则λ≤z（1）=2；
③当x时，4^x-4^-x＜0，则，
令μ=4^x，则，易证z=在[，1）上是减函数，
所以λ≥z（）=，
综上所述，知不存在正整数λ满足题意．
分析：（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，解得k值，然后进行检验，根据增函数的定义即可证明其单调性；
（2）由f（1）=可求得a值，则g（x）=）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），由此g（x）可化为关于t的二次函数，求出t的范围，根据二次函数的性质即可求得g（x）的最小值、最大值，从而得其值域；
（3）按照x=0，0＜x，-x＜0三种情况，分离出参数λ后转化为函数最值解出λ相应范围，最后取其交集即可；
点评：本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．