Question

18．已知函数y=2sin（ωx+φ）在区间[0，$\frac{4}{3}$π]上单调递增，且f（$\frac{π}{3}$）=0，f（$\frac{4}{3}$π）=2，则函数的最小正周期为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． π
• C． 2π
• D． 4π

Answer 1

分析 由条件可得$\frac{π}{3}$•ω+φ=0，ω•$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$．由此求得ω、φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得函数的最小正周期．

解答 解：由函数y=2sin（ωx+φ）在区间[0，$\frac{4}{3}$π]上单调递增，可得φ≥-$\frac{π}{2}$，ω•$\frac{4π}{3}$+φ≤$\frac{π}{2}$．
又 f（$\frac{π}{3}$）=0，f（$\frac{4}{3}$π）=2，
可得 f（$\frac{π}{3}$）=0，f（$\frac{4}{3}$π）=2，可得sin（$\frac{π}{3}$•ω+φ）=0，sin（$\frac{4π}{3}$•ω+φ）=1，
∴$\frac{π}{3}$•ω+φ=0，ω•$\frac{4π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}$．
求得ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{6}$，函数y=2sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$），故函数的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、周期性，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．