Question

（2012•临沂二模）已知函数f（x）满足f(x+1)=-

1

f(x)

，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A．[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• B．(0，

  1

  2

  )
• C．(0，

  1

  4

  ]
• D．(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根据f(x+1)=-

1

f(x)

，可得f（x）是周期为2的周期函数． 再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，可得函数在[-1，3]上的解析式．根据题意可得
函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，数形结合可得实数k的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）满足f(x+1)=-

1

f(x)

，故有f（x+2）=f（x），故f（x）是周期为2的周期函数．再由f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x²，
可得当x∈[-1，0]时，f（x）=x²，故当x∈[-1，1]时，f（x）=x² ，当x∈[1，3]时，f（x）=（x-2）²．
由于函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，故函数y=f（x）的图象与直线y=kx+k 有4个交点，如图所示：

把点（3，1）代入y=kx+k，可得k=

1

4

，数形结合可得实数k的取值范围是 (0，

1

4

]，
故选C．

点评：本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．