A. | 2$\sqrt{2}$ | B. | 2$\sqrt{5}$ | C. | 2 | D. | $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$ |
分析 设BC=a,则AC=$\sqrt{2}$a,利用余弦定理可求得cos2B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$,再利用三角形的面积公式可求得S△ABC=asinB,继而可求S△ABC2=-$\frac{1}{16}$(a2-12)2+8,从而可得△ABC面积的最大值.
解答 解:依题意,设BC=a,则AC=$\sqrt{2}$a,又AB=2,
由余弦定理得:($\sqrt{2}$a)2=a2+AB2-2a•ABcosB,
即a2+4acosB-4=0,
∴cosB=$\frac{4-{a}^{2}}{4a}$=$\frac{1}{a}$-$\frac{a}{4}$,
∴cos2B=$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{2}$,
∴sin2B=1-cos2B=$\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BCsinB=$\frac{1}{2}$×2asinB=asinB,
∴S2△ABC=a2sin2B=a2($\frac{3}{2}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{1}{{a}^{2}}$)=-$\frac{{a}^{4}}{16}$+$\frac{3}{2}$a2-1=-$\frac{1}{16}$(a4-24a2)-1=-$\frac{1}{16}$(a2-12)2+8,
当a2=12,即a=2$\sqrt{3}$时,2、2$\sqrt{3}$、2$\sqrt{6}$能组成三角形,
∴S2max=8,
∴Smax=2$\sqrt{2}$.
故选:A.
点评 本题考查余弦定理与正弦定理的应用,着重考查转化思想与二次函数的配方法,求得S2△ABC=-$\frac{1}{16}$(a2-12)2+8是关键,也是难点,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [0,$\frac{π}{6}$] | B. | (0,$\frac{π}{3}$] | C. | ($\frac{π}{6}$,$\frac{π}{2}$] | D. | ($\frac{π}{6}$,π] |
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