Question

如图，已知圆C的圆心坐标为（1，-1），且过点M（2，-1）．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点N（-1，-2）且斜率为1的直线l与圆C相交于A、B两点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=r²，将点M（2，-1）的坐标代入算出r的值，即可得出圆C的标准方程；
（2）求出直线l方程为x-y-1=0，利用点到直线的距离公式算出点C到直线l的距离，再利用垂径定理加以计算，即可得到直线l被圆C截得的线段AB长．

解答：解：（1）∵圆C的圆心坐标为（1，-1），
∴设圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=r²．
∵点M（2，-1）在圆C上，
∴（2-1）²+（-1+1）²=r²，解之得r=1（舍负）．
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=1；
（2）∵直线l过点N（-1，-2）且斜率为1，
∴直线l方程为y+2=x+1，即x-y-1=0
过C作CD⊥AB于点D，连结AC，则D为AB的中点
Rt△ACD中，AD=

CA2-CD2

∵CD=

|1+1-1|

2

=

2

2

∴AB=2AD=2

CA2-CD2

=

2

点评：本题给出圆满足的条件，求圆的方程并求定直线被圆截得的弦长．着重考查了直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．