Question

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a-g（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得g（x）+h（x）=2^x，根据函数奇偶性，推出方程g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x从而可得h（x）和g（x）的解析式，再代入不等式a-g（x）+h（2x）≥0，利用常数分离法进行求解
解答：解：解：f（x）=2^x可以表示成一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和
∴g（x）+h（x）=2^x①，g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②
①②联立可得，h（x）=（2x+2-x），g（x）=（2x-2-x），
ag（x）+h（2x）≥0对于x∈[1，2]恒成立
对于x∈[1，2]恒成立
a≥-=-（2x-2-x）+（2-x-2x）对于x∈[1，2]恒成立
t=2^x-2^-x，x∈[1，2]，t∈[，]则t+在t∈[，]，
t=，时，则t+=，
∴a≥-；
故答案为a≥-；
点评：本题主要考查了奇偶函数的定义的应用，函数的恒成立的问题，常会转化为求函数的最值问题，体现了转化思想的应用．