Question

在△ABC中，内角A、B、C对边长分别是a，b，c，已知c=2，C=
（I）若△ABC的面积等于；
（II）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（I）∵c=2，C=60°，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：a²+b²-ab=4，
根据三角形的面积S=，可得ab=4，
联立方程组，
解得a=2，b=2；
（II）由题意
sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
；
当cosA≠0时，得sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，
联立方程组
解得a=．
所以△ABC的面积S=．
分析：（I）由C的度数求出sinC和cosC的值，利用余弦定理表示出c²，把c和cosC的值代入得到一个关于a与b的关系式，再由sinC的值及三角形的面积等于，利用面积公式列出a与b的另一个关系式，两个关系式联立即可即可求出a与b的值；
（II）由三角形的内角和定理得到C=π-（A+B），进而利用诱导公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式变形，分两种情况考虑：若cosA为0，得到A和B的度数，进而根据直角三角形的性质求出a与b的值；若cosA不为0，等式两边除以cosA，得到sinB=2sinA，再利用正弦定理化简得到b=2a，与第一问中余弦定理得到的a与b的关系式联立，求出a与b的值，综上，由求出的a与b的值得到ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，其中正弦定理及余弦定理很好的解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．