Question

已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a≥5．

Answer 1

【答案】分析：设出二次函数的零点式，抓住整系数多项式，各系数都是整数，结合f（0）≥1，f（1）≥1，利用不等式化简变形即可．
解答：证明：设二次三项式为：f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），a∈N．
依题意知：0＜x₁＜1，0＜x₂＜1，且x₁≠x₂．于是有
f（0）＞0，f（1）＞0．
又f（x）=ax²-a（x₁+x₂）x+ax₁x₂为整系数二次三项式，
所以f（0）=ax₁x₂，f（1）=a•（1-x₁）（1-x₂）为正整数
故f（0）≥1，f（1）≥1．
从而f（0）•f（1）≥1．①
另一方面，
x₁（1-x₁），x₂（1-x₂）
且由x₁≠x₂知等号不同时成立，所以
x₁（1-x₁）
a²x₁（1-x₁）x₂（1-x₂）
由①、②得，a²＞16．又a∈N，所以a≥5．
点评：本题考查二次函数的证明问题以及不等式的简单应用，关键是灵活运用“整数系数”限制范围，属于中档题．