【题目】如图,己知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且 =λ(0<λ<1)
(1)求证:不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC:
(2)若λ= ,求三棱锥A﹣BEF的体积.
【答案】
(1)证明:因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD,
又在△BCD中,∠BCD=90°,所以,BC⊥CD,又AB∩BC=B,
所以,CD⊥平面ABC,
又在△ACD,E、F分别是AC、AD上的动点,且 =λ(0<λ<1)
所以,不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC
(2)解:在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,所以,BD= ,
又AB⊥平面BCD,所以,AB⊥BC,AB⊥BD,
又在Rt△ABC中,∠ADB=60°∴AB=BDtan60°=
由(1)知EF⊥平面ABE,∴V三棱锥A﹣BEF=V三棱锥F﹣ABE
=
所以,三棱锥A﹣BCD的体积是:
【解析】(1)要证不论λ为何值,总有EF⊥平面ABC,只需证CD⊥平面ABC,在△BCD中,根据∠BCD=90°得证.(2)根据V三棱锥A﹣BEF=V三棱锥F﹣ABE , 得出体积即可.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
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【题目】某校从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六组[40,50),[50,60) ...[90,100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求成绩落在[70,80)上的频率,并补全这个频率分布直方图;
(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、平均分、众数和中位数.
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【题目】已知cos(α﹣β)=﹣ ,cos(α+β)= ,且(α﹣β)∈( ,π),(α+β)∈( ,2π),则cos2α=( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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【题目】为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
温差x/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y/颗 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(Ⅰ)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为m,n,求事件“m,n均不小于25”的概率.
(Ⅱ)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据这5天中的另3天的数据,求出y关于x的线性回归方程 = x+ .
(参考公式: = , = ﹣ )
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【题目】已知函f(x)=ax2﹣ex(a∈R). (Ⅰ)a=1时,试判断f(x)的单调性并给予证明;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点x1 , x2(x1<x2).
(i) 求实数a的取值范围;
(ii)证明:﹣ . (注:e是自然对数的底数)
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【题目】设函数f(x)=
(1)令N(x)=(1+x)2﹣1+ln(1+x),判断并证明N(x)在(﹣1,+∞)上的单调性,并求N(0);
(2)求f(x)在定义域上的最小值;
(3)是否存在实数m,n满足0≤m<n,使得f(x)在区间[m,n]上的值域也为[m,n]? (参考公式:[ln(1+x)′]= )
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线过点,其参数方程为(为参数, ),以为极点, 轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)求已知曲线和曲线交于两点,且,求实数的值.
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【题目】已知函数f(x)=|x+1|. (Ⅰ)解不等式f(x+8)≥10﹣f(x);
(Ⅱ)若|x|>1,|y|<1,求证:f(y)<|x|f( ).
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