Question

（2013•徐汇区一模）（理）函数f（x）=min{2

x

，|x-2|}，其中min{a，b}=

a，a≤b b，a＞b

，若动直线y=m与函数y=f（x）f（x）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x₁，x₂，x₃，则x₁•x₂•x₃是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”

1

．

Answer 1

分析：由f（x）表达式作出函数f（x）的图象，由图象可求得符合条件的m的取值范围，不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，通过解方程可用m把x₁，x₂，x₃分别表示出来，利用基本不等式即可求得x₁•x₂•x₃的最大值．

解答：解：作出函数f（x）的图象如下图所示：

由

y=2 x y=|x-2|

解得A（4-2

3

，2

3

-2），
由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2

3

-2．
不妨设0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则由2

x1

=m得x₁=

m2

4

，由|x₂-2|=2-x₂=m，得x₂=2-m，由|x₃-2|=x₃-2=m，得x₃=m+2，
且2-m＞0，m+2＞0，
所以x₁•x₂•x₃=

m2

4

×（2-m）×（2+m）=

1

4

•m²•（4-m²）≤

1

4

•[

m2+(4-m2)

2

]2=1，
当且仅当m²=4-m²即m=

2

时取得等号，
所以x₁•x₂•x₃存在最大值为1．
故答案为：1．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．