Question

（2012•东至县模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=2，求证：

a2

a+1

+

b2

b+1

≥1．

Answer 1

分析：所以原不等式等价于 a²+b²+ab（a+b）≥ab+a+b+1，将a+b=2代入，只需要证明ab≤1．再利用基本不等式可得

a2

a+1

+

a+1

4

≥a，

b2

b+1

+

b+1

4

≥b，相加即可证得不等式成立．

解答：证明：因为a，b都是正实数，所以原不等式等价于a²（b+1）+b²（a+1）≥（a+1）（b+1），
即 a²b+a²+ab²+b²≥ab+a+b+1．
 等价于 a²+b²+ab（a+b）≥ab+a+b+1，…（6分）
将a+b=2代入，只需要证明 a²+b²+ab=（a+b）²=4≥ab+3，即ab≤1．
而由已知 a+b=2≥2

ab

，可得ab≤1成立，所以原不等式成立．    …（12分）
另证：因为a，b都是正实数，所以

a2

a+1

+

a+1

4

≥a，

b2

b+1

+

b+1

4

≥b．   …（6分）
两式相加得 

a2

a+1

+

a+1

4

+

b2

b+1

+

b+1

4

≥a+b，…（8分）
因为  a+b=2，所以

a2

a+1

+

b2

b+1

≥1．   …（12分）

点评：本题主要考查基本不等式的应用，用分析法和综合法证明不等式，属于中档题．