Question

【题目】已知函数h（x）=﹣|x﹣3|．
（1）若h（x）﹣|x﹣2|≤n对任意的x＞0恒成立，求实数n的最小值；
（2）若函数f（x）= ，求函数g（x）=f（x）+h（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵h（x）﹣|x﹣2|≤n对任意的x＞0恒成立，等价于﹣|x﹣3|﹣|x﹣2|≤n对任意的x＞0恒成立，

等价于﹣n≤（|x﹣2|+|x﹣3|）min对任意的x＞0．

因为|x﹣2|+|x﹣3|≥|x﹣2﹣（x﹣3）|=1，当且仅当x∈[2，3]时取等号，所以﹣n≤1，得n≥﹣1．

所以实数n的最小值为﹣1．

（2）因为f（x）= ，g（x）=f（x）+h（x），

所以g（x）=f（x）﹣|x﹣3|= ，

当0＜x＜3时， =2 +2，

当x≥3时，x+3≥6．

综上，g（x）≥2 +2．

所以函数g（x）=f（x）+h（x）的值域为[2 +2，+∞）．

【解析】(1)使用绝对值不等式求出的最小值为1，所以n的最小值为-1；（2）根据分段函数，写出在不同区间的解析式，求出各段函数中的值域，综上得出g（x）的值域.
【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．