Question

已知三棱柱ADF-BCE中，DF⊥平面ABCD，G是DF的中点．
（I）求证：BF∥平面ACG；
（Ⅱ）若AD=DF=1，AB=2，∠DAB=60°，求三棱锥B-ADF的体积．

Answer 1

解：（I）设AC、BD交于点O，连接OG
∵G、O分别是DF、DB的中点
∴OG∥BF
∵OG⊆平面ACG，BF?平面ACG
∴BF∥平面ACG；
（II）∵DF⊥平面ABCD，
∴FD是三棱锥F-ABD的高
∴V_B-ADF=V_F-ABD=S_△ABD•FD=××AD×AB×sin∠DAB×FD=×1×2sin60°×1=
分析：（I）设AC、BD交于点O，连接OG．根据三角形中位线定理证出OG∥BF，再结合线面平行的判定定理，可得BF∥平面ACG；
（II）由题意不难得到：以△ABD作为底面，FD是三棱锥F-ABD的高．由此结合题中数据可算出三棱锥F-ABD的体积，这个体积就是三棱锥B-ADF的体积．
点评：本题给出特殊的三棱柱，求证线面平行并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面平行的判定和锥体体积公式等知识，属于基础题．