Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+m•2ⁿ（m是与无关的常数且m≠0）．
（1）设bn=

an

2n

，证明数列{b_n}是等差数列，并求a_n；
（2）若数列{a_n}是单调递减数列，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用a_n+1=2a_n+m•2ⁿ，两边同除2ⁿ，推出b_n+1，b_n的关系，然后判断数列是否是等差数列．
（2）通过（1）求出数列 a_n，利用数列{a_n}是单调递减数列，通过a_n+1-a_n＜0，求出m的最小值．

解答：（本小题满分13分）
解：（1）由题意a_n+1=2a_n+m•2ⁿ
等式两边同除2ⁿ⁺¹，得：

an+1

2n+1

=

an

2n

+

m

2

，
即：bn+1=bn+

m

2

，
而b₁=

a1

21

=

1

2

∴是数列{b_n}是首项为

1

2

，公差为

m

2

的等差数列．
∴bn=

1

2

+(n-1)

m

2

=

mn+1-m

2

，
因为bn=

an

2n

，所以a_n=2ⁿb_n，
a_n=2^n-1（mn+1-m）．
（2）由（1）得：a_n=2^n-1（mn+1-m），
a_n+1-a_n=[m（n+1）+1-m]•2ⁿ-（mn+1-m）•2^n-1
=2^n-1（mn+1+m）
∵数列{a_n}是单调递减数列，
∴对任意的正整数n，不等式2^n-1（mn+1+m）＜0恒成立，
即m＜-

1

n+1

恒成立?m＜(-

1

n+1

)min=-

1

2

．
所以m的取值范围是（-∞，-

1

2

）．

点评：本题是中档题，考查数列的判定，数列通项公式的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．