Question

5．定义数列{x_n}：x₁=1，x_n+1=3x_n³+2x_n²+x_n；数列{y_n}：y_n=$\frac{1}{1+2{x}_{n}+3{{x}_{n}}^{2}}$；数列{z_n}：z_n=$\frac{2+3{x}_{n}}{1+2{x}_{n}+3{{x}_{n}}^{2}}$；若{y_n}的前n项的积为P，{z_n}的前n项的和为Q，那么P+Q=1．

Answer 1

分析 通过对x_n+1=3${{x}_{n}}^{3}$+2${{x}_{n}}^{2}$+x_n变形可得$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{1+2{x}_{n}+3{{x}_{n}}^{2}}$，累乘可得P=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，通过变形、分离分母可得z_n=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，并项累加可得Q=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，进而计算可得结论．

解答 解：∵x_n+1=3${{x}_{n}}^{3}$+2${{x}_{n}}^{2}$+x_n，
∴$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{1+2{x}_{n}+3{{x}_{n}}^{2}}$，
∴P=y₁•y₂•…•y_n
=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$•$\frac{{x}_{2}}{{x}_{3}}$•…•$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n+1}}$
=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$，
∵z_n=$\frac{2+3{x}_{n}}{1+2{x}_{n}+{{3x}_{n}}^{2}}$
=$\frac{1+2{x}_{n}+3{{x}_{n}}^{2}-1}{{x}_{n}+2{{x}_{n}}^{2}+3{{x}_{n}}^{3}}$
=$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴Q=（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）+（$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{3}}$）+…+（$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$）
=$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∵x₁=1，
∴P+Q=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{n+1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=$\frac{1}{{x}_{n+1}}$+1-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了经过变形利用“累乘求积”求数列的乘积、利用“累加求和”求数列的和的基本技能方法，属于难题．