Question

12．在三棱锥E一ABC中，AB⊥AC，AB=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，点D在线段BC上，且BD=2CD，ED⊥平面ABC．
（I）证明：AD⊥BE；
（Ⅱ）若AD=DE，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）由已知可求BC，BD，DC的值，由于cos²B+cos²C=1，设AD=x，则由余弦定理可得27x⁴-42x²+11=0，解得AD，利用勾股定理可求AD⊥BC，利用线面垂直的性质可证ED⊥AD，进而可证AD⊥平面EBD，利用线面垂直的性质可证AD⊥BE．
（Ⅱ）若AD=DE，求出C到平面ABE的距离，即可求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．

解答 （I）证明：∵AB=1，AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AB⊥AC，
∴BC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∵BD=2CD，可得：BD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，DC=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴由cos²B+sin²B=1，cos²B+cos²C=1，
∴设AD=x，则由余弦定理可得：[$\frac{1+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}-{x}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{3}}$]²+[$\frac{（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}-{x}^{2}}{2×\frac{\sqrt{6}}{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$]²=1，
整理可得：27x⁴-42x²+11=0，解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或$\frac{\sqrt{11}}{3}$（此时，AD＞AB＞BD，而B为锐角，故舍去），
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：AD²+BD²=AB²，
∴AD⊥BC，
又∵ED⊥平面ABC，AD?平面ABC，可得：ED⊥AD，且ED∩BC=D，
∴AD⊥平面EBD，
∵BE?平面EBD，
∴AD⊥BE．
（Ⅱ）解：若AD=DE，则AE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，BE=1，CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△ABE=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}×\sqrt{1-\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{5}}{6}$
设C到平面ABE的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{5}}{6}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴h=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴直线CE与平面ABE所成角的正弦值=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查了点面距离的计算，余弦定理，勾股定理，线面垂直的判定和性质的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．