Question

数列的前n项和S_n满足：S_n=2a_n-3n(nÏN₊)．

（1）求数列的通项公式a_n；

（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）当nÎN+时有：Sn=2an-3n， ∴ Sn+1=2an+1-3(n+1)，两式相减得：an+1=2an+1-2an-3 ∴ an+1=2an+3 ∴ an+1+3=2(an+3)又a1=s1=2a1-3， ∴ a1=3，a1+3=6¹0 ∴ 数列的首项6，公比为2的等比数列．从而an+3=6×2n-1， ∴ an=3×2n-3 另解：归纳猜想再用数学归纳法证． （2）假设数列中存在三项ar，as，at(r<s<t)，它们可以构成等差数列， ∴ ar<as<at，∴ 只能是ar+at=2as， ∴ （3×2r-3）+（3×2t-3）=2（3×2s-3），即2r+2t=2s+1 ∴ 1+2t-r=2s+1-r．（*） ∵ r<s<t，r，s，t均为正整数， ∴ （*）式左边为奇数，右边为偶数，不可能成立． 因此数列中不存在可以构成等差数列的三项．