【题目】设函数
，
，其中
，
为正实数.
（1）若
的图象总在函数
的图象的下方，求实数的取值范围；
（2）设
，证明：对任意，都有
.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
(1)据题意可得
在区间
上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的
的取值范围；(2)不等式整理为
，由(1)可知当
时，
，利用导数判断函数
的单调性从而证明
在区间上成立，从而证明对任意
，都有
.
（1）解：因为函数
的图象恒在
的图象的下方，
所以
在区间上恒成立.
设
，其中，
所以
，其中
，
.
①当
，即
时，
，
所以函数
在上单调递增，
，
故
成立，满足题意.
②当
，即
时，设
，
则
图象的对称轴
，
，
，
所以在上存在唯一实根，设为
，则
，
，
，
所以在
上单调递减，此时
，不合题意.
综上可得，实数的取值范围是.
（2）证明：由题意得
，
因为当时，
，
，
所以
.
令
，则
，
所以
在上单调递增，
，即
，
所以
，从而
.
由（1）知当时，
在上恒成立，整理得.
令
，则要证，只需证
.
因为
，所以
在上单调递增，
所以
，即在上恒成立.
综上可得，对任意，都有成立.
千里马走向假期期末仿真试卷寒假系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
,椭圆的离心率为
,过椭圆
的左焦点,且斜率为
的直线
,与以右焦点为圆心,半径为
的圆
相切.
（1）求椭圆的标准方程;
（2）线段
是椭圆过右焦点的弦,且
,求
的面积的最大值以及取最大值时实数
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，平面ABCD⊥平面CDEF，且四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，
，M是线段DE上的点，满足DM=2ME．
(1)证明：BE//平面MAC；
(2)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，
，
//
，
.
（1）证明：
//平面BCE.
（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ，求
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以原点
为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为
（其中
为常数）.
（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求的取值范围；
（2）当
时，求曲线M上的点与曲线N上的点之间的最小距离.
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