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16.设函数f(x)=lnx,g(x)=m(1+$\frac{n-1}{x+1}$)(m>0).
(1)若函数y=f(x)-g(x)在定义域内不单调,求m-n的取值范围;
(2)是否存在实数a,使得f($\frac{2a}{x}$)•f(eax)+f($\frac{x}{2a}$)≤0对任意正实数x恒成立?若存在,求出满足条件的实数a;若不存在,请说明理由.

分析 (1)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-m(1+$\frac{n-1}{x+1}$)(m>0)在定义域(0,+∞)内不单调,则函数h(x)在定义域(0,+∞)内有极值,因此h′(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{m(n-1)}{(x+1)^{2}}$=0在(0,+∞)内有解.化为:u(x)=x2+(2+mn-m)x+1=0,令u(x)=x2+(2+mn-m)x+1,u(0)=0,可得$\left\{\begin{array}{l}{△=(2+mn-m)^{2}-4>0}\\{-\frac{2+mn-m}{2}>0}\end{array}\right.$,化简解出即可.
(2)f($\frac{2a}{x}$)•f(eax)+f($\frac{x}{2a}$)=ax•$ln\frac{2a}{x}$+$ln\frac{x}{2a}$=axln(2a)-axlnx+lnx-ln2a=u(x).由x>0,可得a>0.假设存在实数a,使得f($\frac{2a}{x}$)•f(eax)+f($\frac{x}{2a}$)≤0对任意正实数x恒成立?u(x)max≤0.u′(x)=aln(2a)-alnx-a+$\frac{1}{x}$,利用其单调性可得:存在a>0,及其存在x0,>0,使得u′(x0)=0=aln(2a)-alnx0-a+$\frac{1}{{x}_{0}}$,使得u(x)取得极大值即最大值.由lnx0=ln(2a)-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$代入u(x)max≤0.解出即可.

解答 解:(1)h(x)=f(x)-g(x)=lnx-m(1+$\frac{n-1}{x+1}$)(m>0)在定义域(0,+∞)内不单调,
则函数h(x)在定义域(0,+∞)内有极值,
因此h′(x)=$\frac{1}{x}$+$\frac{m(n-1)}{(x+1)^{2}}$=0在(0,+∞)内有解.
化为:u(x)=x2+(2+mn-m)x+1=0,令u(x)=x2+(2+mn-m)x+1,
∵u(0)=0,∴$\left\{\begin{array}{l}{△=(2+mn-m)^{2}-4>0}\\{-\frac{2+mn-m}{2}>0}\end{array}\right.$,化为mn-m<-4,
令m-n=t,可得n=m-t.
∴m(m-t)-m<-4,
化为t>$m+\frac{4}{m}$-1,m>0.
∴t的取值范围是t>$m+\frac{4}{m}$-1,m>0.
(2)f($\frac{2a}{x}$)•f(eax)+f($\frac{x}{2a}$)=ax•$ln\frac{2a}{x}$+$ln\frac{x}{2a}$=axln(2a)-axlnx+lnx-ln2a=u(x).
∵x>0,∴a>0.
假设存在实数a,使得f($\frac{2a}{x}$)•f(eax)+f($\frac{x}{2a}$)≤0对任意正实数x恒成立?u(x)max≤0.
u′(x)=aln(2a)-alnx-a+$\frac{1}{x}$,
∴u′(x)在x∈(0,+∞)单调递减,
x→0+,u′(x)→+∞;x→+∞,u′(x)→-∞.
因此存在a>0,及其存在x0,>0,使得u′(x0)=0=aln(2a)-alnx0-a+$\frac{1}{{x}_{0}}$,使得u(x)取得极大值即最大值.
由lnx0=ln(2a)-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$代入可得:
u(x)max=ax0ln(2a)-ax0lnx0+lnx0-ln(2a)=ax0-1+lnx0-ln(2a)=ax0-1-ln(2a)+ln(2a)-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$=$a{x}_{0}+\frac{1}{a{x}_{0}}$-2,
由于$a{x}_{0}+\frac{1}{a{x}_{0}}$-2≥2-2=0,因此只能去等号,当且仅当ax0=1时取等号.
由于x0满足lnx0=ln(2a)-1+$\frac{1}{a{x}_{0}}$,∴ln$\frac{1}{a}$=ln(2a)-1+1,解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
故存在实数a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$>0,满足条件.

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法、对数的运算性质,考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力,属于难题.

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