Question

设P为曲线C：y=4lnx-

x2

4

上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，则点P横坐标的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由函数解析式得到函数的定义域，设出P点坐标（x₀，y₀），求出x=x₀的导数值，由曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，得到切线的斜率范围是[0，1]，由x=x₀的导数值在区间[0，1]内列分式不等式求解x₀的范围，结合函数的定义域得答案．

解答：解：函数y=4lnx-

x2

4

的定义域为（0，+∞），
由y=4lnx-

x2

4

，得y′=

4

x

-

x

2

，
设P（x₀，y₀），则y′|x=x0=

4

x0

-

x0

2

，
∵曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，

π

4

]，
∴0＜k＜1，即0≤

4

x0

-

x0

2

≤1，解得：-4≤x0≤-2

2

或2≤x0≤2

2

．
∵x₀＞0，∴2≤x0≤2

2

．
则点P横坐标的取值范围为[2，2

2

]．
故答案为：[2，2

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，训练了分式不等式的解法，是中档题．