解:(Ⅰ)证明:假设存在x'
0,x
0∈(a,b),且x'
0≠x
0,使得
,
,
即f'(x
0)=f'(x'
0).(1分)
∵
,∴
上的单调增函数(或者通过复合函数单调性说明f'(x)的单调性).(3分)
∴x
0=x'
0,这与x'
0≠x
0矛盾,即x
0是唯一的.(4分)
(Ⅱ)
,原因如下:
设
,则
.
由(Ⅰ)知f'(x)单调增.
所以当x>x
2即
时,有
所以x>x
2时,F(x)单调减.(5分)
当x<x
2即
时,有
所以x<x
2时,F(x)单调增.(6分)
所以F(x)<F(x
2)=0,所以
.(8分)
(Ⅲ)证明:设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),C(x
3,y
3),且x
1<x
2<x
3,因为m≥1
∵
,∴f(x)是x∈R上的单调减函数.(9分)
∴f(x
1)>f(x
2)>f(x
3).∵
,
∴
.(10分)
∵x
1-x
2<0,x
3-x
2>0,f(x
1)-f(x
2)>0,f(x
3)-f(x
2)<0,
∴
,∴cosB<0,∠B为钝角.故△ABC为钝角三角形.(12分)
分析:(Ⅰ)假设存在x'
0,x
0∈(a,b),且x'
0≠x
0,使得f'(x
0)=f'(x'
0),由此导出
上的单调增函数,从而得到x
0是唯一的.
(Ⅱ)
,设
,则
.由f'(x)单调增.知x>x
2时,F(x)单调减.x<x
2时,F(x)单调增,所以
.
(Ⅲ)设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),C(x
3,y
3),且x
1<x
2<x
3,因为m≥1,由
,知f(x)是x∈R上的单调减函数由此入手能推导出△ABC为钝角三角形.
点评:本题考查利用导数判断函数的单调性的综合运用,具有一定的难度,解题时要认真审题,注意题设中的隐含条件,合理地进行等价转换.