Question

已知函数f（x）=x²-2elnx．（e为自然对数的底）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）是否存在常数a，b使得x²≥ax+b≥2elnx对于任意的正数x恒成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求函数的最小值，需要求出导函数并令其等于零得到x=1，然后分区间x＜1和x＞1，讨论函数的增减性来判断函数的极值，得到函数的最小值即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（0，+∞）时，有f(x)≥f(

e

)=0，x²≥2elnx，则两曲线y=x²，y=2elnx有唯一公共点(

e

，e)．若存在a，b，则直线y=ax+b是曲线y=x²和y=2elnx的公切线，切点为(

e

，e)，利用导数的几何意义即可判断

解答：（Ⅰ）解：由f（x）=x²-2elnx，得f′(x)=2x-

2e

x

（x＞0）．
令f'（x）=0，得x²=e，所以x=

e

．（2分）
当0＜x＜

e

时，f'（x）＜0，所以f（x）在(0，

e

)内是减函数；
当x＞

e

时，f'（x）＞0，所以f（x）在(

e

，+∞)内是增函数．（2分）
故函数f（x）在x=

e

处取得最小值f(

e

)=0．（2分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当x∈（0，+∞）时，有f(x)≥f(

e

)=0，
即x²≥2elnx，当且仅当x=

e

时，等号成立．
即两曲线y=x²，y=2elnx有唯一公共点(

e

，e)．（3分）
若存在a，b，则直线y=ax+b是曲线y=x²和y=2elnx的公切线，切点为(

e

，e)．（2分）
由（x²）'=2x，得直线y=ax+b的斜率为a=2

e

．
又直线y=ax+b过点(

e

，e)，所以e=2

e

•

e

+b，得b=-e．
故存在a=2

e

，b=-e，使得x²≥ax+b≥2elnx对于任意正数x恒成立．（3分）

点评：本题考查了对数函数的导数运算，研究函数的最值问题．考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．