Question

经过抛物线y²=4x的焦点的弦中点轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂，进而根据直线方程求得y₁+y₂，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．

解答：解：由题知抛物线焦点为（1，0）
直线斜率存在时，设焦点弦方程为y=k（x-1），代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x₁+x₂=

2k2+4

k2

，所以中点横坐标：x=

x1+x2

2

=

k2+2

k2

代入直线方程，中点纵坐标：y=k（x-1）=

2

k

．即中点为（

k2+2

k2

，

2

k

）
消参数k，得其方程为y²=2x-2
直线斜率不存在时，（1，0）也满足方程．
故答案为：y²=2x-2

点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．涉及弦的中点的时候，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求．