Question

19．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函数（a∈R）．
（1）求实数a的值；
（2）求函数y=f（x）的值域；
（3）试判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是奇函数，f（-x）=-f（x），即可求实数a的值；
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，即可求函数y=f（x）的值域；
（3）利用单调性定义证明结论．

解答 解：（1）由题意可得：f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
即$\frac{a•{2}^{-x}+a-2}{{2}^{-x}+1}$=-$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$
∴a-2=-a，即a=1
即f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$；                             （3分）
（2）f（x）=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，${2^x}+1＞1∴\frac{2}{{{2^x}+1}}∈（{0，2}）$，∴f（x）∈（-1，1）（6分）
（3）设x₁，x₂为区间（-∞，+∞）内的任意两个值，且x₁＜x₂，
则0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．（12分）

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、指数函数的运算，考查了计算能力，属于中档题．