分析 (1)连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,∠EBG是A1B与平面ABD所成的角,由此能求出A1B与平面ABD所成的角的余弦值.
(2)连结A1D,有${V}_{{A}_{1}-AED}={V}_{D-A{A}_{1}E}$,由此利用等积法能求出A1到平面AED的距离.
解答 解:(1)连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,
即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角,
设F为AB中点,连结EF、FC
∵D,E分别是CC1,A1B的中点,
又DC⊥平面ABCD,
∴CDEF为矩形,
连接DE,G是△ADB的重心,
∴GE=DF,
在直角三角形EFD中,EF2=FG•FD=$\frac{1}{3}F{D}^{2}$,
∵EF=1,∴FD=$\sqrt{3}$,
∴ED=$\sqrt{2}$,EG=$\frac{1×\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∵FC=CD=$\sqrt{2}$,∴AB=2$\sqrt{2}$,${A}_{1}B=2\sqrt{3}$,EB=$\sqrt{3}$,
∴sin∠EBF=$\frac{EG}{EB}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$,
∴cos∠EBF=$\sqrt{1-(\frac{\sqrt{2}}{3})^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{3}$,
∴A1B与平面ABD所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{7}}{3}$.
(2)连结A1D,有${V}_{{A}_{1}-AED}={V}_{D-A{A}_{1}E}$,
∵ED⊥AB,ED⊥EF,又EF∩AB=F,
∴ED⊥平面A1AB,∴ED⊥AE,
设A1到平面AED的距离为h,
则S△AED•h=${S}_{△{A}_{1}AB}•ED$,
∴${S}_{△{A}_{1}AE}$=$\frac{1}{2}$${S}_{△{A}_{1}AB}$=$\frac{1}{4}•{A}_{1}A•AB$=$\sqrt{2}$,
S△AED=$\frac{1}{2}•AE•ED$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$.
∴h=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$,
故A1到平面AED的距离为$\frac{2\sqrt{6}}{3}$.
点评 本题考查点到平面的距离的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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A. | 6 | B. | 7 | C. | 8 | D. | 9 |
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A. | 如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作交线的垂线,那么此垂线必垂直于β | |
B. | 如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β | |
C. | 如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β | |
D. | 如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥γ |
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X | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 |
y | 1.03 | 4.57 | 10.41 | 21.75 | 32.00 | 43.21 |
A. | y=log2x | B. | y=2x | C. | y=x2+2x-3 | D. | y=2x-3 |
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