Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（1）若E为PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（2）在BC上是否存在一点G，使得D到平面PAG的距离为1？若存在，求出BG；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，推出A，B，C，D，E，P坐标
（1）利用cos＜

AE，

PC

＞=

AE • PC

| AE || PC |

，求异面直线AE与PC所成角的余弦值．
（2）假设存在，设BG=x，则G（1，x，0），作DQ⊥AG，利用2S_△ADG=S_ABCD，求出x值，说明存在点G满足题意．

解答：解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，
建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，2，0），
E（0，1，

1

2

），P（0，0，1），

CD

=(-1，0，0)，

AD

=(0，2，0)，

AP

=(0，0，1)，

AE

=(0，1，

1

2

)，

PC

=(1，2，-1)
（1）∵cos＜

AE，

PC

＞=

AE • PC

| AE || PC |

=

30

10

，
所求异面直线AE与PC所成角的余弦值为

30

10

   …（6分）
（2）假设存在，设BG=x，则G（1，x，0），
作DQ⊥AG，则DQ⊥平面PAG，即DG=1，
∵2S_△ADG=S_ABCD，
∴|

AG

||

DQ

|=|

AB

||

AD

|，∴AG=

1+x2

=2⇒x=

3

，
故存在点G，当BG=

3

时，D到平面PAG的距离为1．…．（12分）

点评：本题考查用空间向量求直线间的夹角、距离，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，计算能力．