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19.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长为2,侧面BCC1B1⊥底面ABC,∠B${\;}_{{1}_{\;}}$BC=60°,P为A1C1的中点.
(1)求证:BC⊥AB1
(2)求二面角C1-B1C-P的余弦值.

分析 (1)根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面AOB1,即可证明BC⊥AB1
(2)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法即可求二面角C1-B1C-P的余弦值.

解答 证明:(Ⅰ)过B1作B1O⊥BC于O,
∵侧面BCC1B1⊥平面ABC,
∴B1O⊥平面ABC,
∵∠B1BC=60°.BCC1B1是菱形,∴O为BC的中点.
∵AO⊥BC,B1O⊥BC,
∴BC⊥平面AOB1
∵AB1?平面AOB1
∴BC⊥AB1
解:(2)以O为坐标原点,如图建立空间直角坐标系,
则$A(-\sqrt{3},0,0)$,B(0,-1,0),C(0,1,0),${A_1}(-\sqrt{3},1,\sqrt{3})$,${B_1}(0,0,\sqrt{3})$,${C_1}(0,2,\sqrt{3})$,
∵P为A1C1的中点,
∴P(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,$\sqrt{3}$),
则平面C1B1C的法向量$\overrightarrow{n}$=(1,0,0),
$\overrightarrow{{B_1}C}=(0,1,-\sqrt{3})$.$\overrightarrow{CP}$=(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\sqrt{3}$),
设平面B1CP的法向量$\overrightarrow m=(x,y,z)$,
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$.即$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
令z=1,则$y=\sqrt{3}$,x=3,
则$\overrightarrow{m}$=(3,$\sqrt{3}$,1),
则cos<$\overrightarrow{m}$,$\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+3+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{3}$,
即二面角C1-B1C-P的余弦值是$\frac{3\sqrt{13}}{3}$.

点评 本题考查二面角的平面角的求法与应用,直线与平面垂直的判定定理的应用,建立空间坐标系,求出平面的法向量利用向量法是解决二面角的常见方法.

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