Question

19．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长为2，侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，∠B${\;}_{{1}_{\;}}$BC=60°，P为A₁C₁的中点．
（1）求证：BC⊥AB₁；
（2）求二面角C₁-B₁C-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的性质定理证明BC⊥平面AOB₁，即可证明BC⊥AB₁；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角C₁-B₁C-P的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）过B₁作B₁O⊥BC于O，
∵侧面BCC₁B₁⊥平面ABC，
∴B₁O⊥平面ABC，
∵∠B₁BC=60°．BCC₁B₁是菱形，∴O为BC的中点．
∵AO⊥BC，B₁O⊥BC，
∴BC⊥平面AOB₁，
∵AB₁?平面AOB₁，
∴BC⊥AB₁；
解：（2）以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则$A（-\sqrt{3}，0，0）$，B（0，-1，0），C（0，1，0），${A_1}（-\sqrt{3}，1，\sqrt{3}）$，${B_1}（0，0，\sqrt{3}）$，${C_1}（0，2，\sqrt{3}）$，
∵P为A₁C₁的中点，
∴P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$），
则平面C₁B₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
$\overrightarrow{{B_1}C}=（0，1，-\sqrt{3}）$．$\overrightarrow{CP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$），
设平面B₁CP的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=0}\end{array}\right.$．即$\left\{\begin{array}{l}{y-\sqrt{3}z=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$
令z=1，则$y=\sqrt{3}$，x=3，
则$\overrightarrow{m}$=（3，$\sqrt{3}$，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{{3}^{2}+3+1}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{3}$，
即二面角C₁-B₁C-P的余弦值是$\frac{3\sqrt{13}}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法与应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，建立空间坐标系，求出平面的法向量利用向量法是解决二面角的常见方法．