Question

1．已知f（x）=$\frac{{-2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是定义域为R的奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求出函数f（x）的增减性．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是定义域为R的奇函数，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，带入解析式便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+b}{2+a}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}+b}{1+a}=-\frac{-2+b}{4+a}}\end{array}\right.$，这样便可解出a=2，b=1，从而便可得出f（x）的解析式；
（2）先分离常数得到$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可根据单调性的定义判断该函数的单调性：设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，从而判断出f（x₁）与f（x₂）的大小关系，便可得出f（x）的增减性．

解答 解：（1）f（x）是定义在R上的奇函数；
∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+b}{2+a}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}+b}{1+a}=-\frac{-2+b}{4+a}}\end{array}\right.$；
解得b=1，a=2；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$；
（2）$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减．

点评 考查奇函数的定义，奇函数f（x）在原点有定义时有f（0）=0，分离常数法的运用，以及函数单调性的定义，根据函数单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），作差后是分式的一般要通分．