Question

已知函数f（x）=（x²-ax+1）e^x（a为常数，e为自然对数的底）
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且经过点P（0，t）（t≠1）有且只有一条直线与曲线f（x）相切，求t的取值范围

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=e^x（x+1）（x+1-a）分a=0，a＞0，a＜0三种情况讨论导函数大于零小于零时x的解集即可得到函数的单调区间；
（Ⅱ）把a=0分别代入到函数和导函数中，因为f（0）=1则P不在曲线上，设出直线与曲线的切点坐标，则当x=m时导函数的值为切线的斜率，切线过P点，表示出切线方程，利用导数研究g（x）的单调性并得到g（x）的最值，利用直线y=t与曲线g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一个交点得到t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ））f′（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax+1）e^x=e^x[x²+（2-a）+1-a
]=e^x（x+1）（x+1-a）
若a=0，则f′（x）=e^x（x+1）²≥0，f（x）为R上的单调递增函数；
若a＞0，f′（x）＞0的解为x＜-1或x＞a-1，f′（x）＜0的解为-1＜x＜a-1，
此时f（x）在区间（-∞，-1），（a-1，+∞）单调递增，在区间（-1，a-1）单调递减；
若a＜0，f′（x）＞0的解为x＜a-1或x＞-1，
f′（x）＜0的解为a-1＜x＜-1，此时f（x）在区间（-∞，a-1）（-1，+∞）单调递增，在区间（a-1，-1）单调递减．
（Ⅱ）当a=0时，f（x）=（x²+1）e^x，f′（x）=e^x（x+1）²
因为f（0）=1，所以点P（0，t）不在曲线f（x）上，设过点P的直线与曲线f（x）相切与点A（m，n），
则切线方程为y=e^m（m+1）²x+t，
所以有n=e^m（m+1）²m+t及n=e^m（m²+1），得t=e^m（-m³-m²-m+1）令g（x）=e^x（-x³-x²-x+1），
则g′（x）=e^x（-x³-x²-x+1）+e^x（-3x²-2x-1）=-x（x+1）（x+3）e^x，
令g′（x）=0，得x₁=-3，x₂=-1，x₃=0，
可得g（x）在区间（-∞，-3），（-1，0）单调递增，在区间（-3，-1）（0，+∞）单调递减，
所以g（x）在x=-3时取极大值g（-3）=

22

e3

，在x=-1时取极小值g（-1）=

2

e

，在x=0时取极大值g（0）=1，又

22

e3

＞1，所以g（-3）=

22

e3

是g（x）的最大值，
如图，过点P（0，t）有且只有一条直线与曲线f（x）相切等价于直线y=t与曲线g（x）=e^x（-x³-x²-x+1）有且只有一个交点，又当x＜-3时，g（x）＞0，
所以t=

22

e3

或t≤0．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调性的能力，以及利用导数研究曲线上某点切线方程的能力．会用数形结合的数学思想解决数学问题．