Question

8．在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F 分别为
AB，AC 的中点，以A 为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P （如图所示）．
若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{ED}+μ\overrightarrow{AF}$，其中λ，μ∈R，则λ+μ的值是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 建立如图所示直角坐标系，求出λ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，μ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出结论．

解答 解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），
B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），
F（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
所以$\overrightarrow{ED}$=（-1，1），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
若$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{ED}+μ\overrightarrow{AF}$=（-λ+$\frac{3}{2}$μ，λ+$\frac{1}{2}μ$），
又因为以A 为圆心，AD为半径的圆弧DE中点为P，所以点P的坐标为P（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
所以-λ+$\frac{3}{2}$μ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，λ+$\frac{1}{2}μ$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以λ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，μ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以λ+μ=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$
故选B．

点评 本题考查向量知识的运用，考查坐标系，考查学生的计算能力，属于中档题．