Question

已知半径为

3

的球内有一个内接正方体（即正方体的顶点都在球面上）．
（1）求此球的体积；
（2）求此球的内接正方体的体积；
（3）求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比．

Answer 1

分析：（1）根据球的体积公式加以计算，可得此球的体积；
（2）由正方体的性质可得正方体的对角线长等于它的外接球直径，由此利用正方体对角线公式，算出正方体的棱长为2，可得球的内接正方体的体积；
（3）根据前面算出的数据，利用球的表面积公式与正方体的全面积公式加以计算，可得所求的面积之比．

解答：解：（1）∵球的半径为R=

3

，
∴球的体积为V=

4

3

πR3=

4

3

π×(

3

)3=4

3

π；
（2）设正方体的棱长为a，可得正方体的对角线长为

3

a，
∵球的半径为

3

，且正方体内接于球，
∴正方体的对角线就是球的直径，可得

3

a=2

3

，解得a=2．
因此，此球的内接正方体的体积V₁=a³=2³=8；
（3）由（2）得内接正方体的棱长a=2，可得正方体的全面积为S₁=6a²=24．
又∵球的表面积S₂=4πR²=12π，
∴此球的表面积与其内接正方体的全面积之比为

S2

S1

=

12π

24

=

π

2

．

点评：本题给出球的内接正方体，在已知球的半径的情况下求正方体的体积与表面积．着重考查了正方体的性质、球的体积与表面积计算和球内接多面体等知识，属于基础题．