Question

已知在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB1＝8．E，F分别是线段A1A，BC上的点．

（1）若A1E＝5，BF＝10，求证：BE∥平面A1FD．   
（2）若BD⊥A1F，求三棱锥A1－AB1F的体积．

Answer 1

略

（1）过E作EG∥AD交A1D于G，连结GF．
∵＝，所以＝，∴EG＝10＝BF．
∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG．
∴四边形BFGE是平行四边形．
∴BE∥FG．…………………………………4分
又FGÌ平面A1FD，BEË平面A1FD，
∴BE∥平面A1FD．                     …………………………………6分
（2）∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，BDÌ面ABCD，∴A1A⊥BD．                         
由已知，BD⊥A1F，AA1∩A1F＝A1，
∴BD⊥面A1AF．                         
∴BD⊥AF．                            ………………………………8分
∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，
∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2．
在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝．    
∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，∴＝，BF＝4．     ………………10分
∵在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥面ABCD，
∴面AA1B1B⊥面ABCD，又面ABCD∩面AA1B1B＝AB，∠ABF＝90°，
∴FB⊥面AA1B1B，即BF为三棱锥F－A1B1A的高． ………………12分
∵∠AA1B1＝90°，AA1＝BB1＝8，A1B1＝AB＝8，∴S＝32．
∴V＝V＝×S×BF＝．…14分