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13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A.
(1)求A的大小;
(2)若$a=2\sqrt{3}$,求b+2c的最大值.

分析 (1)由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos2A+3cosA-2=0,进而解得cosA的值,结合范围A∈(0,π),可求A的值.
(2)法一:由余弦定理,可得:b2+c2-bc=12,结合基本不等式可求$\frac{3}{28}$(b+2c)2≤12,进而得解b+2c 的最大值.
法二:设△ABC 的外接圆半径为R,则由正弦定理得:$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=4$,利用三角函数恒等变换的应用可得b+2c=$4\sqrt{7}sin(A+φ)(0<φ<\frac{π}{2},tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,利用正弦函数的性质可求最大值.

解答 解:(1)由于3cosBcosC+1=3sinBsinC+cos2A,
则3(cosBcosC-sinBsinC)=cos2A-1,
从而3cos(B+C)=2cos2A-2,
故2cos2A+3cosA-2=0.
即(2cosA-1)(cosA+2)=0,
故$cosA=\frac{1}{2}$ 或cosA=-2 (舍去),
由于A∈(0,π),
从而$A=\frac{π}{3}$.
(2)法一:由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2
可得:b2+c2-bc=12,
可得:(b+2c)2-12=3c2+5bc=$\frac{1}{7}$×7c(3c+5b)≤$\frac{1}{7}$×$\frac{(5b+10c)^{2}}{4}$=$\frac{25}{28}$(b+2c)2
可得:$\frac{3}{28}$(b+2c)2≤12,即:b+2c$≤4\sqrt{7}$.
当且仅当4c=5b 取等号,从而b+2c 的最大值为$4\sqrt{7}$.
法二:设△ABC 的外接圆半径为R,则由正弦定理得:$2R=\frac{a}{sinA}=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}=4$,
从而$b+2c=2R(sinA+2sinC)=4sinA+8sin(\frac{2π}{3}-A)=4sinA+8(\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA)$
=$8sinA+4\sqrt{3}cosA=4(2sinA+\sqrt{3}cosA)=4\sqrt{7}(sinA•\frac{2}{{\sqrt{7}}}+cosA•\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}})$
=$4\sqrt{7}sin(A+φ)(0<φ<\frac{π}{2},tanφ=\frac{{\sqrt{3}}}{2})$,
故b+2c的最大值为$4\sqrt{7}$,当且仅当$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}$取等号,从而b+2c的最大值为$4\sqrt{7}$.

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,余弦定理,基本不等式,正弦定理,正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.

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