Question

过椭圆左焦点F，倾斜角为

π

3

的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为______．

Answer 1

设准线与x轴交点为M，过A、B作准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=3t，因为|FA|=2|FB|，则|BF|=t，|AF|=2t，
因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=

1

2

|AB|=

3

2

t，
根据椭圆第二定义，可得|AH|=|AD|-|BC|=

2t

e

-

t

e

=

t

e

，
∴

3

2

t=

t

e

∴e=

2

3

，
故答案为：

2

3

．