过椭圆左焦点F.倾斜角为π3的直线交椭圆于A.B两点.若|FA|=2|FB|.则椭圆的离心率为．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

过椭圆左焦点F，倾斜角为

的直线交椭圆于A，B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为______．

设准线与x轴交点为M，过A、B作准线的垂线，垂足分别为D、C，过B作BH⊥AD，垂足为H，交x轴于E．
设|AB|=3t，因为|FA|=2|FB|，则|BF|=t，|AF|=2t，
因为AB倾斜角为60°，所以∠ABH=30°，则|AH|=

|AB|=

t，
根据椭圆第二定义，可得|AH|=|AD|-|BC|=

，
∴

∴e=

，
故答案为：

．

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科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

（13分）已知F₁、F₂是椭圆c₁：

(a>b>0)的左、右焦点，A为右顶点，P为椭圆c₁上任意一点，且

最大值的取值范围是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求椭圆c₁离心率e的取值范围；（2）设双曲线c₂以椭圆c₁焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线c₂在第一象限上任意一点，当椭圆c₁离心率e取得最小值时，问是否存在正常数λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，请说明理由.

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科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且准线方程为x=-1．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过抛物线C焦点的直线l交抛物线于A，B两点，如果要同时满足：①|AB|≤8；②直线l与椭圆3x²+2y²=2有公共点，试确定直线l倾斜角的取值范围．

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科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

已知椭圆C₁：

=1(a＞b＞0)的离心率为

，并且直线y=x+b是抛物线C₂：y²=4x的一条切线．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程．
（Ⅱ）过点S(0，-

)的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在求出T的坐标；若不存在，请说明理由．

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科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(

，

)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．