Question

已知⊙O：x²+y²=4交x轴的负半轴于点P，直线y=-

1

2

x-1与⊙O另一交点为点Q，点S为圆上任一点．
（1）求弦PQ的长；
（2）当点S将上半圆分成1：2两部分圆弧时，求直线PS的方程；
（3）求

PQ

•

PS

的最大值．

Answer 1

分析：（1）求弦PQ的长即先求出圆心到PQ的距离，然后根据勾股定理即可求解
（2）根据点S将上半圆分成1：2两部分圆弧时，求出点S的坐标，即可求出直线PS的方程
（3）根据向量加法知

PS

=

PO

+

OS

，将

PQ

•

PS

转化为

PO

•

PQ

+

OS

•

PQ

即可

解答：解：（1）直线方程为x+2y+2=0，则点O到直线的距离d=

2

5

∴弦PQ=2

4- 4 5

=

8

5

5

（4分）
（2）由题意得：P(1，

3

)或P(-1，

3

)，（6分）
直线PS的方程为y=

3

3

(x+2)或y=

3

(x+2)（8分）
（3）∵

PS

=

PO

+

OS

∴

PQ

•

PS

=(

PO

+

OS

)•

PQ

=

PO

•

PQ

+

OS

•

PQ

PO

•

PQ

=

32

5

，（12分）
当OS∥PQ时，

OS

•

PS

取得最大值，即

OS

•

PS

≤2×

8 5

5

=

16 5

5

∴

PQ

•

PS

的最大值是

32

5

+

16 5

5

．（16分）

点评：本题考查了向量在几何中的应用，直线与圆的位置关系，向量的数量积与不等式的知识，属于基础题．