Question

【题目】已知函数

（1）若函数的图像在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；

（2）若函数的图像有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；

（3）在（2）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与的图像和的图象交于S、T点，以S点为切点作以T为切点作的切线，是否存在实数m，使得？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析.

【解析】

（1）设两图象公共点P（x0，y0），P的坐标满足f（x）和g（x）解析式得到关系式①，又在点P处有共同的切线得到关系式②，②和①联立求解即可.（2）有两个交点转为有两个解,利用变量分求解即可;（3）利用反证法即可得到证明.

解：（1）设函数

则有 ①

又在点P处有共同的切线,

②

②代入①，得 设

所以，函数最多只有1个零点，观察得 此时，点P（1，0）.

（2）有两个交点即方程有两个解,

即在(0,+∞)上有两个解.

设h(x)= ,∴, ∴x=1

易知x=1为极大值点,且h(x)>0,且以x轴为渐近线

∴0<m+1<1,∴

另解：根据（1）知，当时，两条曲线切于点P（1，0），

此时，变化的y=g(x)图象对称轴为

而是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，

即 解得 两条曲线有两个不同的交点，当时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，所以，有

（3）假设存在这样的m，不妨设 以S为切线的切线l1的斜率,以T为切点的切线l2的斜率如果存在m，使得

即 ③

而且有如果将③的两边同乘以得

,即

，④

即，设，则，

令，则

⑤

∴④与⑤矛盾，所以，不存在实数