Question

已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，对于函数y=f（x），给出以下几个结论：
①y=f（x）是周期函数； 
②x=π 是y=f（x）图象的一条对称轴；
③（-π，0）是y=f（x）图象的一个对称中心； 
④当x=

π

2

时，y=f（x）一定取得最大值．
其中正确结论的序号是

 

（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，及函数f（x）是奇函数，可得f（2π+x）=f（x），即可得出周期；
②由f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，可知x=

π

2

 是y=f（x）图象的一条对称轴；
③利用函数f（x）的奇偶性和周期性可得f（-π）=0．即（-π，0）是y=f（x）图象的一个对称中心； 
④当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，若函数f（x）单调递减，则f(

π

2

)取得最小值．

解答： 解：①∵f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，及函数f（x）是奇函数，
∴f（π+x）=f(

π

2

-x-

π

2

)=f（-x）=-f（x），
∴f（2π+x）=-f（π+x）=f（x）．
∴y=f（x）是周期为2π的函数；
因此正确．
②由f(

π

2

+x)=f(

π

2

-x)，可知x=

π

2

 是y=f（x）图象的一条对称轴，因此②不正确；
③∵f（-π）=-f（π），f（-π）=f（-π+2π）=f（π），∴-f（π）=f（π），∴f（π）=0，即f（-π）=0．
∴（-π，0）是y=f（x）图象的一个对称中心，因此正确； 
④当x∈[-

π

2

，

π

2

]时，若函数f（x）单调递减，则f(

π

2

)取得最小值，因此不正确．
综上可知：只有①③正确．
故答案为：①③．

点评：本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．