解析:若sin(α+β)=sinα+sinβ成立,我们寻求等式成立的充分条件,如果充分条件不存在,则说明等式不成立.从而将反溯条件型开放性问题转化为封闭性的求解问题.?
由sin(α+β)=sinα+sinβ,?
而sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,?
从而sinαcosβ+cosαsinβ-sinα-sinβ=0,?
得sinα(cosβ-1)+sinβ(cosα-1)=0.?
由余弦二倍角公式,有?
-2sinαsin2-2sinβsin2 =0,?
由正弦二倍角公式,有?
2sincossin2+2sincossin2=0,?
得sinsin(sincos+cossin)=0,?
即sinsinsin =0.?
这时,α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z).?
综上可知当α=2kπ或β=2kπ或α+β=2kπ(k∈Z)时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立,否则不成立.
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