Question

定义在R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，则方程f（x）=0的实数根的个数是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：利用函数零点的判定定理及在区间（0，+∞）上的单调性即可判断出此区间上的个数，进而根据奇函数的对称性可判断出在区间（-∞，0）上零点的个数，又f（0）=0，从而得出函数f（x）所有零点的个数即方程f（x）=0的个数．
解答：①∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，0是方程f（x）=0的一个实数根；
②当x＞0时，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，由y=2012^x及y=log₂₀₁₂x在（0，+∞）上单调递增可知：函数f（x）在
（0，+∞）上单调递增．由当x→0时，f（x）→-∞，而f（1）=2012+0＞0，故函数f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点．
③当x＜0时，根据奇函数的对称性可知：函数f（x）在区间（-∞，0）上有唯一零点．
综上可知：方程f（x）=0的实数根的个数是3．
故选C．
点评：熟练掌握函数零点的判定定理、函数的单调性、奇函数的对称性是解题的关键．