Question

若a＞0，b＞0，

1

a

+

1

b

=2

ab

．
（1）求a³+b³的最小值；
（2）是否存在a，b，使得2a+3b=4？并说明理由．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由于a＞0，b＞0，

1

a

+

1

b

=2

ab

．利用基本不等式的性质可得2

ab

≥2

1 ab

，即ab≥1．利用基本不等式的性质可得a³+b³≥2

a3b3

即可得出．
（2）由于a，b＞0，利用（1）及基本不等式的性质可得2a+3b≥2

6ab

≥2

6

，即可得出．

解答： 解：（1）∵a＞0，b＞0，

1

a

+

1

b

=2

ab

．
∴2

ab

≥2

1 ab

，化为ab≥1，当且仅当a=b=1时取等号．
∴a³+b³≥2

a3b3

≥2，
∴a³+b³的最小值为2；
2）∵a，b＞0，
∴2a+3b≥2

6ab

≥2

6

＞4，
故不存在a，b＞0，使得2a+3b=4．

点评：本题综合考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．