Question

直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1相交于A．B两点，O为坐标原点．
（1）若k=1（2），求△AOB的面积
（3）若A．B在双曲线的左右两支上，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据弦长公式求出|AB|，利用点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，利用三角形面积公式即可求得△AOB的面积；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A，B在双曲线的左右两支上，所以有x₁x₂＜0，根据韦达定理即可得不等式，解出即可；

解答：解：（1）当k=1时，y=x+1，
由

y=x+1 3x2-y2=1

得，x²-x-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=1，x₁x₂=-1，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

12-4(-1)

=

10

，
点O到直线AB的距离为d=

1

2

，
所以△AOB的面积为：

1

2

×|AB|•d=

1

2

×

10

×

1

2

=

5

2

；
（2）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
因为A．B在双曲线的左右两支上，所以

3-k2≠0 x1x2= -2 3-k2 ＜0

，解得-

3

＜k＜

3

，
所以实数k的取值范围为：-

3

＜k＜

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式、点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查学生对基本公式的熟练运用，属中档题．